블로그로 보는 기하학67

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  기하학으로 풀어보는 블랙홀과 웜홀의 비밀: 우주여행의 지름길? 블랙홀과 웜홀, 이 두 가지 단어만으로도 우주의 신비로움과 광활함, 그리고 인간의 상상력을 자극하는 무한한 가능성을 떠올리게 하죠. 어릴 적 밤하늘을 바라보며 꿈꿔왔던 우주여행, 혹시 다른 차원이나 세계로 통하는 비밀 통로가 있을까 하는 상상, 그리고 빛조차 빨아들이는 블랙홀의 강력한 중력에 대한 호기심... 이 모든 것들은 우리를 블랙홀과 웜홀이라는 기하학적 구조의 세계로 이끌어 줍니다. 블랙홀의 기하학: 빛조차 탈출할 수 없는 중력의 웅장함블랙홀은 중력이 워낙 강력해서 빛조차 탈출할 수 없는 시공간 영역이에요. 마치 우주 공간에 뚫린 어두운 구멍처럼 묘사되곤 하는데, 그 내부에는 우리가 상상할 수 없는 엄청난 에너지와 밀도가 숨겨져 있죠. 블랙홀은 어떻게 만들어지는 걸까요? 흔히 태양보다 훨씬 무거운.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 30.

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  기하학 기초, 연결성과 단순 연결성 쉽게 이해하기! 기하학, 듣기만 해도 왠지 어렵고 복잡하게 느껴지죠? 사실 기하학은 우리 주변 세상을 이루는 기본적인 형태와 공간을 다루는 아주 재밌는 학문이에요. 특히, 위상수학이라는 분야에서는 공간의 기본적인 성질, 즉 ‘연결’과 ‘구멍’에 초점을 맞춰 공간을 연구한답니다. 오늘은 그중에서도 연결성과 단순 연결성이라는 개념을 파헤쳐 보고, 왜 이렇게 중요한지, 그리고 우리 생활과 어떤 관련이 있는지 알아볼 거예요. 연결성: 공간을 하나로 이어주는 끈연결성이라는 건 쉽게 말해, 어떤 공간이 끊어지지 않고 하나로 이어져 있는지를 나타내는 거예요. 마치 끊어지지 않은 실처럼 말이죠. 좀 더 수학적으로 얘기하자면, 어떤 공간을 두 개의 겹치지 않는 부분으로 나눌 수 없을 때, 그 공간은 연결되어 있다고 합니다. 연결성의 다.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 29.

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  기하학의 혁명, 리만 기하학 기본 개념 파헤치기! 휘어진 공간, 새로운 기하학의 탄생을 알리다 - 리만 기하학의 매력적인 세계에 빠져보세요! 리만 기하학은 19세기 수학자 베른하르트 리만이 만들어낸 기하학의 한 분야에요. 흔히 보는 평면이나 직선만 있는 세상이 아니라, 휘어진 곡면이나 굽은 공간을 다루는 아주 흥미로운 학문이죠.  우리가 살고 있는 세상이 꼭 평평하지 않다는 걸 생각해보면, 리만 기하학이 얼마나 중요한지 알 수 있을 거예요. 특히 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서 중력을 시공간의 휘어짐으로 설명할 때, 리만 기하학이 핵심적인 역할을 했답니다. 그럼, 리만 기하학의 기본 개념들을 하나씩 살펴보면서, 휘어진 공간의 신비를 탐험해 볼까요? 리만 기하학: 곡률과 다양체의 세계리만 기하학은 흔히 보는 유클리드 기하학과는 달라요. 유클리드 기하학이.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 29.

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  기하학의 마법, 위상동형과 동치 관계 탐구하기! 도형, 뭔가 딱딱하고 복잡해 보이죠?  학교 다닐 때 기하학 시간에 삼각형, 원, 사각형... 공식 외우느라 머리 아팠던 기억이 떠오르기도 하고요. 하지만 세상을 이루는 모든 것들의 기본은 결국 다 '모양'이잖아요?  그 모양을 수학적으로 탐구하는 게 바로 기하학이고요. 오늘은 기하학 중에서도 좀 특별한, '위상수학'의 핵심 개념인 위상동형과 동치 관계에 대해 얘기해볼까 해요. 솔직히 말하면, 처음엔 저도 좀 헷갈렸거든요. 뭐가 뭔지, 왜 중요한 건지... 그런데 파고들수록 '아, 이게 바로 세상을 보는 새로운 눈!' 하는 생각이 들더라고요.  마치 마법처럼, 도형의 본질을 꿰뚫어볼 수 있는 멋진 마법 같은 거 있죠? 위상동형: 도형의 본질, 그 변치 않는 아름다움위상동형이 뭔지 감이 잘 안 오시죠?  .. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 28.

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  기하학 핵심! 곡면의 넓이와 곡률 완벽 정리 미분기하학에서 곡면의 넓이와 곡률은 곡면의 기하학적 특징을 파악하고 이해하는 데 핵심적인 역할을 하는 개념이에요. 3차원 공간에서 펼쳐진 곡면이 어떻게 휘어져 있고, 그 면적은 얼마나 되는지를 알려주는 중요한 정보들을 담고 있죠. 쉽게 말해, 곡면의 넓이와 곡률은 곡면의 모양과 성질을 나타내는 지표라고 할 수 있어요. 우리 주변의 세상에는 평면뿐만 아니라, 곡면으로 이루어진 다양한 사물들이 존재하고, 이들의 모양과 성질을 이해하기 위해서는 곡면의 넓이와 곡률에 대한 이해가 필수적이에요. 곡면의 넓이와 곡률은 어떻게 계산하고, 또 어떤 의미를 가지는 걸까요? 곡면의 넓이: 매개변수화를 통한 측정곡면의 넓이를 계산하려면 먼저 곡면을 매개변수화해야 해요. 곡면을 두 개의 매개변수, 와 를 이용해서 표현하는 거.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 28.

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  기하학: 벡터의 내적과 외적, 제대로 알고 가자! 두 벡터 사이의 관계를 탐구하는 흥미로운 도구, 벡터의 내적과 외적! 3차원 공간에서 벡터의 움직임과 방향을 이해하는 데 필수적인 개념이에요. 사실 고등학교 때 잠깐 스쳐 지나갔던 내용일 수도 있지만, 대학 수학, 특히 다변수 미적분학에서 그 진가를 발휘하는 핵심적인 개념이랍니다. 벡터의 내적과 외적이 뭘까요? 어떻게 쓰이는 걸까요? 궁금증을 해소해 드릴게요! 벡터의 내적: 스칼라 값으로 드러나는 벡터 간의 친밀도벡터의 내적(Inner Product)은 두 벡터 사이의 크기와 각도를 연결해주는 중요한 도구에요.  두 벡터의 내적을 계산하면 벡터가 아닌 스칼라 값이 나오는데, 이 값은 두 벡터가 얼마나 '친하다' 혹은 '가깝다'를 나타내는 지표라고 생각하면 돼요. 내적의 기하학적 의미: 크기와 각도의 조화.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 27.

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  기하학: 타원, 포물선, 쌍곡선의 방정식 완벽 정리! 고등학교 수학 시간에 이차곡선이라는 단어를 들어보셨나요? 어쩌면 낯설게 느껴질 수도 있지만, 사실 우리 주변에서 쉽게 찾아볼 수 있는 아주 친숙한 곡선들이랍니다. 타원, 포물선, 쌍곡선… 이 곡선들은 단순히 수학 문제 속 공식만은 아니에요. 우리가 살고 있는 세상 곳곳에 숨어서 다양한 현상들을 만들어내는 숨은 주역들이죠. 예를 들어, 행성이 태양 주위를 도는 궤도는 타원 모양이고, 손전등 불빛이 뻗어나가는 모습은 포물선을 닮았으며, 멀리 있는 별을 관측하는 망원경의 접시 모양은 포물면이라는 포물선이 회전하면서 만들어진 3차원 도형이에요. 이렇게 우리 주변에서 쉽게 찾아볼 수 있는 이차곡선들에 대해 좀 더 자세히 알아보고 싶지 않으세요? 이 포스팅에서는 타원, 포물선, 쌍곡선의 방정식을 비롯해, 이 곡선들.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 27.

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  기하학 원의 넓이와 둘레, 공식 완벽 정복! 초등학생도 쉽게 이해하기 원의 넓이와 둘레, 어렵게만 느껴지시나요? 사실 원의 넓이와 둘레를 구하는 공식은 생각보다 간단하고, 우리 주변에서 쉽게 찾아볼 수 있는 개념이에요.  피자 한 조각의 크기를 계산하거나, 동그란 시계의 둘레를 재볼 때도 원의 넓이와 둘레를 활용한답니다.  오늘은 원의 넓이와 둘레를 구하는 공식을 쉽고 재밌게 알려드릴게요!  어려운 수학 공식 대신, 그림과 함께 설명해드릴 테니, 초등학생도 쉽게 이해할 수 있을 거예요. 원의 둘레: 원을 쭉 펼쳐서 길이를 재 보자!원의 둘레는 원의 가장 바깥쪽 경계선의 길이를 말해요. 마치 동그란 빵 테두리를 따라 한 바퀴 돌아오는 길이라고 생각하면 쉬워요. 원의 둘레를 구하려면, 원의 지름이나 반지름을 알아야 한답니다. 지름과 반지름, 뭐가 다를까요?원의 지름은 원의 중.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 26.

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  기하학 회전체, 적분으로 부피와 겉넓이 풀기! 고등학교 수학 시간에 잠깐 스쳐 지나갔지만, 은근히 까다롭고 흥미로운 주제인 회전체에 대해 파고들어 볼 거예요. 회전체의 부피와 겉넓이를 어떻게 구하는지, 적분을 이용해서 풀어보는 방법을 알려드릴 테니, 궁금했던 부분이 속 시원하게 풀리길 바라요! 회전체, 도대체 뭐지?회전체는 말 그대로 평면 도형을 어떤 축을 중심으로 빙빙 돌려서 만들어진 3차원 입체 도형을 말해요. 뭔가 어렵게 들리지만, 생각보다 간단해요. 예를 들어, 컵이나 깔때기, 혹은 공 같은 것들이 다 회전체라고 생각하면 돼요. x축을 중심으로 빙글빙글 돌려봐!자, 좌표평면에 함수 *f(x)*가 그려져 있다고 상상해 봐요. 이 함수를 x축을 기준으로 빙글빙글 돌리면 어떤 모양이 만들어질까요? 네, 바로 회전체가 만들어지는 거예요! 이때, 회전.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 26.

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  기하학: 작도 불가능? 3대 난제의 비밀 풀기! 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 세상의 모든 도형을 그릴 수 있을까요? 왠지 모르게 끌리는 매력적인 질문이죠? 혹시 고대 그리스 수학자들이 끙끙 앓았던 3대 작도 불능 문제를 들어보셨나요? 오늘은 기하학의 세계에서 작도 가능한 도형과 불가능한 도형에 대한 이야기를 풀어보고, 3대 작도 불능 문제에 숨겨진 비밀을 파헤쳐 보려고 해요. 눈금 없는 자와 컴퍼스, 그리고 작도의 세계눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 그리는 작도(Geometric Construction)는 기하학에서 아주 중요한 개념 중 하나에요. 고대 그리스 사람들은 이 두 가지 도구를 이용해서 세상의 모든 도형을 만들 수 있다고 믿었대요. 직선과 원은 그들에게 가장 완벽한 도형이었고, 신이 만든 가장 아름다운 형태라고 생각했거든요. 그래서 눈금.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 25.

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  기하학: 피타고라스 정리의 역, 놀라운 비밀! 직각삼각형의 세 변 사이의 관계를 설명하는 피타고라스 정리! 학교 다닐 때 다들 한 번쯤은 들어봤을 텐데요. 혹시 피타고라스 정리의 '역'에 대해서도 알고 있나요? 피타고라스 정리만 알고 넘어가기엔 좀 아쉬운 이야기들이 숨어 있답니다. 오늘은 피타고라스 정리의 역이 뭘 말하는 건지, 그리고 왜 중요한지, 그리고 덤으로 피타고라스의 수까지 흥미진진하게 파헤쳐 보는 시간을 가져볼게요!  어려운 수학 공식 없이 쉽고 재미있게 풀어드릴 테니, 걱정 말고 따라오세요! 피타고라스 정리의 역: 쉿, 비밀인데 뒤집어 보면 직각삼각형이 뿅!피타고라스 정리는 뭐, 다들 알잖아요? 직각삼각형에서 빗변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같다는 거! 즉, 직각삼각형이면 무조건 이 공식이 성립한다는 거죠.  그런데, 이걸 반.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 25.

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  기하학: 기울기 벡터와 방향 도함수 완벽 이해하기! 다변수 함수의 변화를 이해하는 가장 중요한 열쇠, 바로 기울기 벡터와 방향 도함수에요!어려운 수학 용어 같지만, 막상 알고 보면 꽤나 흥미진진하고 유용한 개념들이랍니다.함수의 변화를 다각적으로 들여다보고, 특정 방향으로의 변화를 측정하는 방법까지!함께 기울기 벡터와 방향 도함수의 세계로 떠나볼까요? 기울기 벡터: 함수의 가장 가파른 길기울기 벡터는 다변수 함수의 변화율을 나타내는 중요한 개념이에요.마치 산을 오를 때 가장 가파른 길을 찾는 것처럼, 기울기 벡터는 함수의 그래프에서 가장 빠르게 증가하는 방향을 알려주는 역할을 한답니다.함수 f(x, y)의 기울기 벡터는 다음과 같이 정의돼요. (수식 삽입: 기울기 벡터 정의) 여기서 ∂f/∂x와 ∂f/∂y는 각각 x와 y에 대한 편미분을 의미해요.어려운 말.. 블로그로 보는 기하학 2024. 10. 24.